Question

有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的两侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?

Answer 1

思路分析：根据题设条件作出图形（如上图）,分析各已知条件的关系,借助图形的特征,构造函数求最值.

解：设∠BCD=θ,则BC=,

CD=40·cotθ(0＜θ＜),

∴AC=50-40cotθ.

设总的水管费用为f(θ).

依题意,有f(θ)=3a(50-40·cotθ)+5a·

=150a+40a·.

∴f′(θ)=40a·

=40a·.

令f′(θ)=0,得cosθ=.根据问题的实际意义,当cosθ=时,函数取得最小值,此时,sinθ=,∴cotθ=.∴AC=50-40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.

    方法归纳 如何与三角函数结合是解本题的关键.