题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n $数学公式$ ．
（I）求a_n；
（II）设b_n= $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞ $数学公式$ （m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

解：（I）∵S_n²=a_n（S_n- $\text{[math]}$ ）（n≥2）
∴S_n²=（S_n-S_n-1 $\text{[math]}$ ）（S_n- $\text{[math]}$ ）
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2= $\text{[math]}$ …（2分）
又a₁=1， $\text{[math]}$ =1
∴数列 $\text{[math]}$ 为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）
∴ $\text{[math]}$ =1+（n-1）•2=2n-1
∴S_n= $\text{[math]}$ ．
∴a_n= $\text{[math]}$ …（5分）
（II）b_n= $\text{[math]}$ ）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ ）]
= $\text{[math]}$ …（8分）
（III）令T（x）= $\text{[math]}$ ，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
∴当n=1时T_n= $\text{[math]}$ 取得最小值． $\text{[math]}$ …（10分）
由题意可知，要使得对任意n∈N^*，都有T_n＞ $\text{[math]}$ （m-8）成立，
只要T₁＞ $\text{[math]}$ （m-8）即可．
∴ $\text{[math]}$ （m-8）
∴m＜ $\text{[math]}$
又m∈n
∴m=9．…（12分）
分析：（I）将a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，展开变形、化简可得2= $\text{[math]}$ ，证出数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，从而，得出S_n的表达式，进而可以求出a_n；
（II）将（I）中的S_n的表达式代入到b_n当中，用裂项相消法可以求出T_n表达式；
（III）用T_n的表达式得出其单调性，将不等式T_n＞ $\text{[math]}$ （m-8）转化为T₁＞ $\text{[math]}$ （m-8），最后可以求出符合题m的最大值．
点评：本题考查了数列求和的方法和等差数列的相关知识，属于中档题．采用裂项相消法、利用数列的单调性和不等式恒成立的处理，是解决问题的关键．