Question

如图，平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC与平面ACD互相垂直．
（1）求证：AB⊥平面BCD；
（2）求点C到平面ABD的距离；
（3）在BD上是否存在一点P，使CP⊥平面ABD，证明你的结论．

Answer 1

（1）取AC的中点M，因为AB=AC，所以BM⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACD，∴BM⊥平面ACD，∴BM⊥CD
∵AB=BC=CD=a，∠B=

π

2

∴∠BAC=∠BCA=

π

4

∵∠ACD=

3π

4

，∴∠ACD=

π

2

，即AC⊥CD
∵AC∩BM=M∴CD⊥平面ABC∴CD⊥AB
∵AB⊥BC且BC∩CD=C
AB⊥平面BCD
（2）由（1）知BA为B到平面ACD的距离，且BM=

2

2

a
设点C到平面ABD的距离h
由已知可得AC=

2

a，∠ACD=

π

2

，由（1）可得∠AMD=

π

2

，从而可得AD=

AM2+ DM2

=

2

a
根据等体积可得

1

3

×

1

2

×BM×SACD=

1

3

×

1

2

×SABD×h
∴

2 a

2

×

2

a×a=a×

2

a×h
h=

2

2

a
点C到平面ABD的距离

2

2

a
（3）假设存在满足条件的P，使得CP⊥平面ABD
则CP⊥BD①，∵BC=CD=a∴P为DB的中点
而此时CP=

2 a

2

，AP=

6 a

2

，AC=

2

a，则AC²=AP²+CP²
∴AP⊥CP②由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得此时的P满足条件，
故存在P为BD的中点