题目内容
已知m∈R，设p：不等式|m2-5m-3|≥3；q：函数f（x）=x3+mx2+（m+
）x+6在（-∞，+∞）上有极值．求使p且q为真命题的m的取值范围．
| 4 |
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由已知不等式得
m2-5m-3≤-3①
或m2-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5；
不等式②的解为m≤-1或m≥6．
所以，当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时，p为真命题．
对函数f（x）=x3+mx2+(m+
)x+6求导得，
f′（x）=3x2+2mx+m+
令f′（x）=0，即3x2+2mx+m+
=0，
当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m2-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
所以，当m＜-1或m＞4时，q为真命题．
综上所述，使p且q为真命题时，实数m的取值范围为
（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．
m2-5m-3≤-3①
或m2-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5；
不等式②的解为m≤-1或m≥6．
所以，当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时，p为真命题．
对函数f（x）=x3+mx2+(m+
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f′（x）=3x2+2mx+m+
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令f′（x）=0，即3x2+2mx+m+
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当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m2-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
所以，当m＜-1或m＞4时，q为真命题．
综上所述，使p且q为真命题时，实数m的取值范围为
（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．
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