Question

已知A、B分别是直线y=

3

3

x和y=-

3

3

x上的两个动点，线段AB的长为2

3

，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）任意作直线l（与x轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N，与y轴交于R点．若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，证明：λ+μ 为定值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用P是线段AB的中点，可得

y= y1+y2 2 x= x1+x2 2

，进而可得

y1-y2= 2 3 3 x x1-x2=2 3 y

，利用|

AB

|=2

3

，即可求得动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程代入椭圆方程，消去y并整理，利用韦达定理及

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，可得λ=

x3

1-x3

，μ=

x4

1-x4

，化简可得结论．

解答：解：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P是线段AB的中点，∴

y= y1+y2 2 x= x1+x2 2

                           …（2分）
∵A、B分别是直线y=

3

3

x 和y=-

3

3

x 上的点，
∴y1=

3

3

x1 和y2=-

3

3

x2．
∴

y1-y2= 2 3 3 x x1-x2=2 3 y

                                …（4分）
又|

AB

|=2

3

，∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12．                  …（5分）
∴12y2+

4

3

x2=12，∴动点P的轨迹C的方程为

x2

9

+y2=1．      …（8分）
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，…（10分）
∴x3+x4=

18k2

1+9k2

，①x3x4=

9k2-9

1+9k2

．    ②…（12分）
∵

RM

=λ

MQ

，∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]．
即

x3=λ(1-x3) y3-y5=-λy3

，∴x₃=λ（1-x₃）．
∵l 与x 轴不垂直，∴x₃≠1，
∴λ=

x3

1-x3

，同理μ=

x4

1-x4

．                           …（14分）
∴λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

=

18k2 1+9k2 -2× 9k2-9 1+9k2

1-( 18k2 1+9k2 )+ 9k2-9 1+9k2

=-

9

4

．
∴λ+μ=-

9

4

为定值．                  …（16分）

点评：本题考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，确定λ、μ的值是关键．