Question

1．正数a、b、c满足abc=a+b+c+2，求证：a+b+c≥4（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）

Answer 1

分析 由柯西不等式2[a（a+1）+b（b+1）+c（c+1）]=[a（a+1）+b（b+1）+c（c+1）]（$\frac{a}{a+1}$+$\frac{b}{b+1}$+$\frac{c}{c+1}$）≥（a+b+c）²．化简得a²+b²+c²+2（a+b+c）≥2（bc+ca+ab）．上式两边都加2（bc+ca+ab），整理，即可得出结论．

解答 证明：由柯西不等式2[a（a+1）+b（b+1）+c（c+1）]=[a（a+1）+b（b+1）+c（c+1）]（$\frac{a}{a+1}$+$\frac{b}{b+1}$+$\frac{c}{c+1}$）≥（a+b+c）²．
化简得a²+b²+c²+2（a+b+c）≥2（bc+ca+ab）．
上式两边都加2（bc+ca+ab），整理得（a+b+c）（a+b+c+2）≥4（bc+ca+ab），
即（a+b+c）abc≥4（bc+ca+ab）．
两边同除以abc，原不等式获证．

点评 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键．