Question

【题目】已知函数（）．

（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；

（2）设，分别为的极大值和极小值，若存在实数，使得，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，函数存在极大值和极小值，故方程有两个不等的正实数根，列出不等式组，即可求解的取值范围；（2）由得，且．由（1）知存在极大值和极小值，设的两根为，（），则在上递增，在上递减，在上递增，所以，，根据可把表示为关于的表达式，再借助的范围即可求解的取值范围．

试题解析：（1），其中

由于函数存在极大值和极小值，故方程有两个不等的正实数根，

即有两个不等的正实数根记为，，显然

所以解得．

（2）由得，且．由（1）知存在极大值和极小值．

设的两根为，（），则在上递增，在上递减，在上递增，所以，．

因为，所以，而且，

由于函数在上单调递减，所以．

又由于（），所以（）．

所以

令，则，令

所以，

所以在上单调递减，所以

由，知，所以，