题目内容
（2013•浙江模拟）已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=
，若
+
=2m
，则m=
．
| π |
| 4 |
| cosB |
| sinC |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AO |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
分析：取AB的中点为D，可得
=
+
代入已知的等式中，结合正弦定理和向量的运算法则变形，并用三角函数表示出m，化简后可得结果．
| AO |
| AD |
| DO |
解答：
解：取AB中点D，则有
=
+
，代入已知式子可得
+
=2m(
+
)，
由
⊥
，可得
•
=0，∴两边同乘
，化简得：
•
+
•
=2m(
+
)•
=m
•
，即
c2+
bc•cosA=mc2，
由正弦定理化简可得
sin2C+
sinBsinC•cosA=msin2C，
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=
=
=
=sinA=sin
=
故答案为：
解：取AB中点D，则有| AO |
| AD |
| DO |
| cosB |
| sinC |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AD |
| DO |
由
| OD |
| AB |
| OD |
| AB |
| AB |
| cosB |
| sinC |
| AB |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AB |
=2m(
| AD |
| DO |
| AB |
| AB |
| AB |
| cosB |
| sinC |
| cosC |
| sinB |
由正弦定理化简可得
| cosB |
| sinC |
| cosC |
| sinB |
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=
| cosB+cosAcosC |
| sinC |
| -cos(A+C)+cosAcosC |
| sinC |
=
| -cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC |
| sinC |
=sinA=sin
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
故答案为：
| ||
| 2 |
点评：本题考查平面向量，正弦定理以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属中档题．
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