Question

某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A型零件的工人人数为x名（x∈N^*）
（1）设完成A型零件加工所需时间为f（x）小时，写出f（x）的解析式；
（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？

Answer 1

分析：（1）生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间f（x）=

A型零件个数

每小时加工A 型零件数×人数

，代入数据整理即可；
（2）生产150件产品，需加工B型零件150个，同理可得完成B型零件加工所需时间g（x）；
完成全部生产任务所需时间h（x），是f（x）与 g（x）的较大者；故令f（x）≥g（x），得1≤x≤32

1

7

；
所以，当1≤x≤32时，f（x）＞g（x）；当33≤x≤49时，f（x）＜g（x）．
即h(x)=

90 x ，(x∈N*，且1≤x≤32) 50 50-x ，(x∈N*，且33≤x≤49)

；求得函数h（x）的最小值即可．

解答：解：（1）生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间f(x)=

450

5x

=

90

x

（其中x∈N*，且1≤x≤49）；
（2）生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间g(x)=

150

3(50-x)

=

50

50-x

（其中x∈N*，且1≤x≤49）；
设完成全部生产任务所需时间h（x）小时，则h（x）为f（x）与 g（x）的较大者，
令f（x）≥g（x），则

90

x

≥

50

50-x

，解得1≤x≤32

1

7

，
所以，当1≤x≤32时，f（x）＞g（x）；当33≤x≤49时，f（x）＜g（x）．
故h(x)=

90 x ，(x∈N*，且1≤x≤32) 50 50-x ，(x∈N*，且33≤x≤49)

；
当1≤x≤32时，h′(x)=-

90

x2

＜0，故h（x）在[1，32]上单调递减，
则h（x）在[1，32]上的最小值为h(32)=

90

32

=

45

16

（小时）；
当33≤x≤49时，h′(x)=

50

(50-x)2

＞0，故h（x）在[33，49]上单调递增，
则h（x）在[33，49]上的最小值为h(33)=

50

50-33

=

50

17

（小时）； 
∵h（33）＞h（32），
∴h（x）在[1，49]上的最小值为h（32），
∴x=32为所求．
所以，为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32．

点评：本题主要考查了函数的最值、不等式、导数及其应用等基础知识，也考查了分段函数的应用，以及运算求解和应用意识，属于中档题．