Question

在平面直角坐标系中，经过点的动直线，与椭圆：（）相交于，两点. 当轴时，，当轴时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若的中点为，且，求直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

试题分析：（Ⅰ）利用已知条件确定、的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）解法一是逆用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，由得到为直角三角形，且为斜边，于是得到，借助韦达定理与向量的有关知识确定直线的方程；解法二是直接设直线的方程，直接从问题中的等式出发，借助韦达定理与弦长公式确定直线的方程.
试题解析：解法一：（Ⅰ）当轴时，，
当轴时，，得，
解得，．
所以椭圆的方程为：．    5分
（Ⅱ）设直线，与方程联立，得．
设，，则， ．①
因为，即，
所以，即，              8分
所以，则，
将①式代入并整理得：，解出，
此时直线的方程为：，即，．  12分
解法二：（Ⅰ）同解法一                                   5分
（Ⅱ）设直线：，与联立，得．（﹡）
设，，则，．
从而
．       8分
设，则，．
由得：，
整理得，即，
即，解得，从而．
故所求直线的方程为：，
即和．                    12分