Question

9．对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
（Ⅱ）设函数f（x）的对称轴为直线x=m，若x₁，x₂为f（x）的不动点，且x₁＜1＜x₂，求证：m＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2，b=-2时，化简函数的解析式，利用定义求f（x）的不动点；
（Ⅱ）设函数f（x）的对称轴为直线x=m，得到关系式，通过x₁，x₂为f（x）的不动点，且x₁＜1＜x₂，构造函数，利用新函数的对称轴的函数值证明m＞$\frac{1}{2}$．

解答 （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）依题意：f（x）=2x²-2x+1=x，即2x²-3x+1=0，…（3分）
解得$x=\frac{1}{2}$或1，即f（x）的不动点为$\frac{1}{2}$和1…（7分）
（Ⅱ）由f（x）表达式f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
函数的对称轴为：x=$-\frac{b}{2a}$，函数f（x）的对称轴为直线x=m，
得$m=-\frac{b}{2a}$，
令g（x）=f（x）-x，
∵g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，a＞0
由x₁＜1＜x₂得g（1）＜0，…（11分）
得$-\frac{b}{a}＞1$，即证$m＞\frac{1}{2}$…（15分）

点评 本题考查二次函数的性质，函数与方程的综合应用，考查计算能力．