Question

设f(x)=log3

1-2sinx

1+2sinx

．
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）求函数y=f（x）的定义域和值域．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，再根据f（x），f（-x）之间的关系来下结论即可；
（2）先求出真数的取值范围，再结合对数函数的单调性即可求出其值域．

解答：解：（1）∵

1-2sinx

1+2sinx

＞0?-

1

2

＜sinx＜

1

2

?kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

6

，k∈Z，定义域关于原点对称．
∴f（-x）=log₂

1+2sinx

1-2sinx

=log₂ (

1-2sinx

1+2sinx

)-1=-log₂

1-2sinx

1+2sinx

=-f（x）．
∴故其为奇函数；
（2）由上得：定义域{x|kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

6

，k∈Z}，
∵

1-2sinx

1+2sinx

=

-(1+2sinx)+2

1+2sinx

=-1+

2

1+2sinx

．
而-

1

2

＜sinx＜

1

2

?0＜1+2sinx＜2?

2

1+2sinx

＞1?-1+

2

1+2sinx

＞0?y=log₃ 

1-2sinx

1+2sinx

的值域为R．
∴值域为R．

点评：本题主要考查正弦函数的基本性质．判断函数的奇偶性的前提应该先求定义域．当定义域不关于原点对称时，是不具有奇偶性的．