Question

10．已知α，β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{12}{13}$．
（1）求cos（β+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求cos（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（3）求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 由题意和同角三角函数基本关系可得cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，cos（β-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，
（1）由诱导公式可得cos（β+$\frac{π}{4}$）=-sin（β-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{12}{13}$；
（2）cos（α+$\frac{π}{4}$）=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]=cos（α+β）cos（β-$\frac{π}{4}$）+sin（α+β）sin（β-$\frac{π}{4}$），代值计算可得；
（3）由（1）（2）和同角三角函数基本关系可得sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{33}{65}$，sin（β+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，可得cos（α-β）=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-（β+$\frac{π}{4}$）]=cos（α+$\frac{π}{4}$）cos（β+$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）sin（β+$\frac{π}{4}$），代值计算可得．

解答 解：∵α，β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{12}{13}$，
∴cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，cos（β-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，
（1）cos（β+$\frac{π}{4}$）=cos[（β-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{2}$]=-sin（β-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{12}{13}$；
（2）cos（α+$\frac{π}{4}$）=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]
=cos（α+β）cos（β-$\frac{π}{4}$）+sin（α+β）sin（β-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）$+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{12}{13}$=-$\frac{56}{65}$；
（3）结合题意由（1）（2）可得sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{33}{65}$，sin（β+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$
∴cos（α-β）=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-（β+$\frac{π}{4}$）]
=cos（α+$\frac{π}{4}$）cos（β+$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）sin（β+$\frac{π}{4}$）
=$（-\frac{56}{65}）×（-\frac{12}{13}）$+$（-\frac{33}{65}）×（-\frac{5}{13}）$=$\frac{837}{845}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及整体法和诱导公式以及同角三角函数基本关系，属中档题．