Question

7．在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，且|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AD}$|=2，O是平面ABCD内任一点，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，当点P在以A为圆心，|$\overrightarrow{AC}$|为半径的圆上时，有（　　）

• A． x²+4y²-2xy=3
• B． x²+4y²+2xy=3
• C． 4x²+y²-2xy=3
• D． 4x²+y²+2xy=3

Answer 1

分析 根据已知条件利用余弦定理，求得对角线|$\overrightarrow{AC}$丨，根据向量加法和减法的三角形法则可得$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，两边平方即可求得结果．

解答 解：∵在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，AB=1，BC=AD=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos∠ABC}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
∵点P在以A为圆心，|$\overrightarrow{AC}$丨为半径的圆上，
∴$\overrightarrow{AP}$²=（x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$）²，
即3=x²+4y²+2xy$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=x²+4y²-2xy，
故选：A．

点评 此题考查余弦定理和向量的减法的三角形法则以及向量的数量积的定义，其中把已知条件化简为$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，是解题的关键，属中档题．