Question

17．已知函数f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1}{1-x}$+$lo{g}_{2}\frac{1}{x+a}$，g（x）=3^x-a，且函数g（x）的零点为1．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的定义域和值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数g（x）的零点为1，可得a值；
（2）根据真数大于0，可得函数的定义域，根据真数的取值范围，可得函数值域．

解答 解：（1）∵g（x）=3^x-a，且函数g（x）的零点为1，
∴3-a=0，
解得：a=3，
（2）由（1）得：f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1}{1-x}$+$lo{g}_{2}\frac{1}{x+3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ x+3＞0\end{array}\right.$得，x∈（-3，1），
故函数f（x）的定义域为（-3，1），
又∵f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1}{（1-x）（x+3）}$=$lo{g}_{2}\frac{1}{-{x}^{2}+2x+3}$=$lo{g}_{2}\frac{1}{-{（x-1）}^{2}+4}$≥$lo{g}_{2}\frac{1}{4}$=-2，
故函数的值域为[-2，+∞）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的零点，函数的定义域和值域，难度中档．