Question

设x、y∈R，在直角坐标平面内，

a

=(x，y+

3

)，

b

=(x，y-

3

)且|

a

|+|

b

|=4．设点M（x，y）的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时

OA

⊥

OB

？此时|

AB

|的值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据|

a

|+|

b

|=4，可判断曲线C为椭圆，欲求 轨迹C的方程，只需求出椭圆的长半轴长，短半轴长，由

a

=(x，y+

3

)，

b

=(x，y-

3

)，|

a

|+|

b

|=4求出a，b即可．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则A，B两点为直线y=kx+1与椭圆交点，可用两曲线方程联立，求x₁x₂+y₁y₂，再根据

OA

⊥

OB

时，x₁x₂+y₁y₂=0，就可求出k只，再用弦长公式求|

AB

|．

解答：解：（Ⅰ）∵|

a

|+|

b

|=4，
∴

x2+(y+ 3 )2

+

x2+(y- 3 )2

=4，
它表示以点F1(0，-

3)

、F2(0，

3)

的椭圆，其方程为x2+

y2

4

=1，这就是所求C的方程．
（Ⅱ设直线y=kx+1与C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
由

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

消去y得4x²+（kx+1）²=4，整理得（4+k²）x²+2kx-3=0
其△=（2k）²+12（4+k²）＞0恒成立．
由韦达定理得x1+x2=-

2k

4+k2

，x1x2=-

3

4+k2

．
则y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-

3k2

4+k2

-

2k2

4+k2

+1=

4-4k2

4+k2

，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 k2+3

4+k2

由

OA

⊥

OB

得，x₁x₂+y₁y₂=0，即-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0，
解得k=±

1

2

，
此时|

AB

|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4 65

17

．
．综上得，当k=±

1

2

时，

OA

⊥

OB

，此时|

AB

|的值是

4 65

17

．

点评：本题考查了定义法求椭圆方程，以及只限于椭圆位置关系的判断，注意设而不求思想的应用．