Question

在平面直角坐标系xOy中，设不等式组

-1≤x≤2 0≤y≤2

所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．
（Ⅰ）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，求|OM|≤2的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①做出所示平面区域②画网格描整点，找出整数点坐标个数，再找出第一象限中的点个数．二者做除法即可算出概率（Ⅱ）这是一个几何概率模型．算出图中以（0，0）圆心2为半径的圆的阴影面积，再除以平面区域矩形ABCD面积，即可求出概率．

解答：解：（Ⅰ）若x，y∈Z，则点M的个数共有12个，列举如下：
（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）．
当点M的坐标为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）时，点M位于第一象限，故点M位于第一象限的概率为

1

3

．
（Ⅱ）这是一个几何概率模型．
如图，若x，y∈R，则区域W的面积是3×2=6．
满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|-1≤x≤2，0≤y≤2，x²+y²≤4}，即图中的阴影部分，易知E(-1，

3

)，∠EOA=60°，
所以扇形BOE的面积是

4π

3

，△EAO的面积是

3

2

，
故|OM|≤2的概率为

4π 3 + 3 2

6

=

8π+3 3

36

点评：本题考查几何概率问题和简单线性规划问题．