Question

已知函数f(x)=ax²+ln(x+1).
（1）当a=时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当时，函数y=f(x)图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围；
（3）求证：（其中,e是自然数对数的底数）

Answer 1

（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）见解析

试题分析：
（1）函数f(x)是二次与对数的结合，求单调性可以利用导数，以此先求定义域，求导，求导函数大于0与小于0分别求出单调递增与单调递减区间.
（2）要使得函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，
不等式恒成立即可，即转化了恒成立问题，则只需要,故考虑对求导求单调性来确定函数在上的最大值，因为导函数含有参数a，所以在求解单调性确定最值的过程中需要讨论a的范围，讨论需从两根的大小和0的大小进行分析才能确定的最值，从而得到a的取值范围.
（3）考虑把不等式两边同时去对数再证明，即证明，利用对数的乘法公式可以把不等式的左边化解成为不可求和数列的和，在利用利用（2）得到当a=0时，ln(1+x)是恒成立的，把不可求和数列放缩成为可以裂项求和的数列，裂项利用，进而证明原不等式.
试题解析：
（1）当时，（），
（），  1分
由解得，由解得．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．  3分
（2）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，
不等式恒成立，即恒成立，
设（），只需即可．  4分
由，
（ⅰ）当时，，当时，，
函数在上单调递减，故成立．   5分
（ⅱ）当时，由，因，所以，
①，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，
在上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；
②若，即时，函数在上单调递减，
在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．   8分
（ⅲ）当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立．
综上所述，实数的取值范围是．   10分
（3）据（2）知当时，在上恒成立.
（或另证在区间上恒成立），   11分
又，
∵



，
.       14分