Question

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．

Answer 1

分析：方案一：选择在三角形AMN中，所以要用正弦定理求得AM，AN，再用余弦定理求解．
方案二：选择在三角形BMN中，所以要用正弦定理求得BM，BN，再用余弦定理求解．

解答：方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α₁、β₁；B点到M、N点的俯角α₂、β₂；A、B的距离d，如图所示：

②第一步：计算AM．由正弦定理AM=

dsinα2

sin(α1+α2)

第二步：计算AN．由正弦定理AN=

dsinβ2

sin(β2-β1)

第三步：计算MN．由余弦定理MN=

AM2+AN2-2AM•ANcos(α1-β1)

方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角 α₁、β₁；B点到M、N点的俯角 α₂、β₂；A、B的距离d（如图所示）．
②第一步：计算BM．由正弦定理BM=

dsinα1

sin(α1+α2)

第二步：计算BN．由正弦定理BN=

dsinβ1

sin(β2-β1)

第三步：计算MN．由余弦定理MN=

BM2+BN2+2BM•BNcos(α2+β2)

点评：本题主要考查解三角形问题，主要涉及了正弦定理和余弦定理的应用．