Question

四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=

6

，E为PC的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD
（2）求二面角E-AD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）先证明BD⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定，即可证得结论；
（2）设AC、BD交于点O，连OE，过点O作OF⊥AD于点F，连EF，可得∠EFO就是所求二面角的平面角，解三角形EFO，即可得到二面角E-AD-C的正切值．

解答：（1）证明：连接AC、BD
∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴PA⊥BD
∵四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∴BD⊥AC
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面PBD
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）解：记AC∩BD=O，
由（1）知PA⊥平面ABCD，而OE∥PA，所以EO⊥平面ABCD．
在平面ABCD内作OF⊥AD交AD于F，连EF，则EF⊥AD．
所以∠EFO就是二面角E-AD-C的平面角．
由ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=1，得OF=

3

4

，
又OE=

1

2

PA=

6

2

，
∴在Rt△OEF中，tan∠FEO=

OE

OF

=2

2

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是证明线面垂直，作出面面角，属于中档题．