Question

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知数列的首项为1，前项和为，且满足，．数列满足.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 当时，试比较与的大小，并说明理由；
（3） 试判断：当时，向量是否可能恰为直线的方向向量？请说明你的理由.

Answer 1

（1）（2）

(1) 由… (1) ， 得… (2)，由 (2)-(1) 得 , 整理得 ，. 所以，数列，，，…，，…是以4为公比的等比数列. 其中,, 所以，.  （2）由题意，. 当时， 所以，. （3）由题意，直线的方向向量为，假设向量恰为该直线的方向向量，则有， 当时，，，向量不符合条件； 当时，由 ， 而此时等式左边的不是一个整数，而等式右边的是一个整数，故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量. 解法二：同解法一，由假设可得， 当时， 由 …①， 不妨设，①即为

故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量.