Question

如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2,1)，且与轴交于点A，定点B的坐标为(2,0) ．

（1）若动点M满足，求点M的轨迹C；
（2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

Answer 1

（1）（2）（,1）

试题分析：（1）先对原函数求导，然后求出斜率，再利用 进行整理即可．
(2)先设方程为 与  联立，结合根与系数的关系以及判别式得到再由
得，即可
（1）由得, ∴．∴直线的斜率为，
故的方程为，∴点A的坐标为(1,0)．           (2分)
设,则(1,0),,，由
得，整理，得．           (4分)
(2)方法一:如图，由题意知的斜率存在且不为零，设方程为 ①，将①代入，整理，得,设,,则②得            (7分)

令， 则，由此可得 ，
，且．∴    
由②知 ，．
∴,                 (10分)
∵，∴，解得 且   (12分)
又∵， ∴，
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（,1）．        (13分)
方法二:如图，由题意知l’的斜率存在且不为零，设l’ 方程为 ①，将①代入，整理，得,设,,则 ② ;  (7分)
令， 则，由此可得 ， ，且．
∴         (10分)
∵, ∴,解得 且        (12分)
又∵， ∴，
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（,1）．          (13分)