二十世纪50年代.日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调.四肢麻木等症状.人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞.使鱼类受到污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．罗非鱼是体型较大.生命周期长的食肉鱼.其体内汞� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

二十世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
（Ⅰ）若某人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
（Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ
（Ⅲ）在这15条样本鱼中，任取3条，记η表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求η的分布列及Eη．

分析（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从15条鱼中选3条，共有C₁₅³种结果，而满足条件的事件是恰好有1条鱼汞含量超标有C₅¹C₁₀²种结果，根据古典概型公式得到结果．
（Ⅱ）依题意可知，这是在相同条件下进行的试验，各次之间相互独立，所以这是一个独立重复试验，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P可以求出，ξ的取值为0，1，2，3，根据独立重复试验公式，得到结果．
（Ⅲ）这15条样本鱼中，有5条超标，任取3条，记η表示抽到的鱼汞含量超标的条数，则η的取值为0，1，2，3，属于超几何分布．

解答解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从15条鱼中选3条，共有C₁₅³种结果，
而满足条件的事件是恰好有1条鱼汞含量超标有C₅¹C₁₀²种结果，
记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
∴P（A）=$\frac{{{C}_{5}^{1}C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{45}{91}$，
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为$\frac{45}{91}$．
（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$
这是在相同条件下进行的试验，各次之间相互独立，所以这是一个独立重复试验，
所有ξ的取值为0，1，2，3，根据独立重复试验公式，
其分布列如下

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

所以ξ～
所以ξ～（3，$\frac{1}{3}$），所以Eξ=1
（Ⅲ）这15条样本鱼中，有5条超标，任取3条，记η表示抽到的鱼汞含量超标的条数，则η的取值为0，1，2，3，属于超几何分布．
P（η=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{120}{455}$，P（η=1）=$\frac{{{C}_{5}^{1}C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{225}{455}$，P（η=2）=$\frac{{{C}_{5}^{2}C}_{10}^{1}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{100}{455}$ P（η=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{10}{455}$
η的分布列如下：