Question

4．证明：$\frac{tanθ（1+sinθ）+sinθ}{tanθ（1+sinθ）-sinθ}$=$\frac{tanθ+sinθ}{tanθsinθ}$．

Answer 1

分析 利用三角函数基本关系式，化简等式的左侧，化简右侧，然后证明等式成立．

解答 证明：左=$\frac{tanθ（1+sinθ）+sinθ}{tanθ（1+sinθ）-sinθ}$ 
=$\frac{sinθ（1+sinθ）+sinθcosθ}{sinθ（1+sinθ）-sinθcosθ}$
=$\frac{1+sinθ+cosθ}{1+sinθ-cosθ}$，
右=$\frac{tanθ+sinθ}{tanθsinθ}$=$\frac{sinθ+sinθcosθ}{sinθsinθ}$=$\frac{1+cosθ}{sinθ}$，
（1+sinθ-cosθ）（1+cosθ）=1+sinθ-cosθ+cosθ+sinθcosθ-cos²θ=sinθ+sin²θ+sinθcosθ
可得$\frac{1+sinθ+cosθ}{1+sinθ-cosθ}$=$\frac{1+cosθ}{sinθ}$，
左=右．
即：$\frac{tanθ（1+sinθ）+sinθ}{tanθ（1+sinθ）-sinθ}$=$\frac{tanθ+sinθ}{tanθsinθ}$．

点评 本题考查恒等式成立，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．