题目内容

直线 $数学公式$ 与椭圆 $数学公式$ 相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得△PAB面积等于3，这样的点P共有

A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个

B
分析：设出P₁的坐标，表示出四边形P₁AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P₁AB的最大值，利用6√2-6＜3判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P，
解答：

解：设P₁（4cosα，3sinα）（0＜α＜ $\text{[math]}$ ），即点P₁在第一象限的椭圆上，考虑四边形P₁AOB面积S，
S=S_△OAP1+S_△OBP1= $\text{[math]}$ ×4（3sinα）+ $\text{[math]}$ ×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6 $\text{[math]}$ sin（α+ $\text{[math]}$ ），∴S_max=6 $\text{[math]}$ ．
∵S_△OAB= $\text{[math]}$ ×4×3=6为定值，
∴S_△P1AB的最大值为6 $\text{[math]}$ -6．
∵6 $\text{[math]}$ -6＜3，
∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，
故选B．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

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