题目内容

已知向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，
3
cos(π-x))，函数f(x)=
a
•
b
+
3
2

（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移
π
4
单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，
π
2
]上的最小值，并写出x相应的取值．
分析：（1）利用向量的数量积运算，将函数表示为三角函数式，再利用二倍角公式和两角差的正弦公式，将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式求最小正周期，利用正弦函数的单调区间，求其单调减区间
（2）先利用平移变换理论写出函数g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求函数的最小值即可
解答：解：（1）∵f(x)=
a
•
b
+
3
2
=sinxcosx-
3
cos2x+
3
2

=
1
2
sin2x-
3
2
（1+cos2x）+
3
2

=
1
2
sin2x-
3
2
cos2x-
3
2
+
3
2

=cos
π
3
sin2x-sin
π
3
cos2x
=sin（2x-
π
3
）
故f（x）的最小正周期为T=
2π
2
=π
由2kπ+
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
3π
2
得
kπ+
5π
12
≤x≤kπ+
11π
12
  k∈z
∴函数的f（x） 单调递减区间为[kπ+
5π
12
，kπ+
11π
12
]k∈z
（2）由题意g（x）=sin[2（x+
π
4
）-
π
3
]=sin（2x+
π
6
）
∵x∈[0，
π
2
]，∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]
∴2x+
π
6
=
7π
6
，即x=
π
2
时，g（x）取得最小值sin
7π
6
=-
1
2
点评：本题考查了向量的数量积运算，三角变换公式的应用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
精英家教网

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网