Question

已知A、B是椭圆的一条弦，向量与AB交于M，且，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应的双曲线与直线AB交于N(4，-1)。

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设双曲线的离心率为e₂，e₁+e₂=f(a)，求f(a)的解析式，并求它的定义域和值域。

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由与AB交于M，则M是AB的中点， ∵  ∴ M(2，1) 设A(x1，y1)，B(x2，y2) ∴ 且A、B在椭圆上 ∴ ②-①：b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0 ∴ a2=2b2， ∵ a2+b2=c2  ∴ b2=c2  ∴ 。 （2）设椭圆的右准线为l，过N作NN¢^l于N¢， 则由双曲线定义及题意知， ； 则。 由题设知lAB：y=-x+3，代入椭圆方程，消去y得3x2-12x+18-a2=0， 由D=122-12(18-a2)>0，有a2>6，∴ ， 又， ∴ ，再由e>1可得：， ∴ f(a)的定义域为：。由，可得 。 所以f(a)在区间上，以及区间上是减函数。则 , 即。 求f(a)的定义域还可以用下面的方法：由M(2，1)在椭圆的内部，e2>1，以及 ，a2=2b2。得：解得： 即。