Question

（19）如图，椭圆（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=。

   （Ⅰ）求椭圆方程；

   （Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，求证：∠ATM=∠AF₁T。

Answer 1

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

解：（Ⅰ）过点A、B的直线方程为.

因为由题意得有惟一解，

即有惟一解，

所以

       △=   （ab≠0）,

故  ，

    又因为，即，

所以

    从而得，

故所求的椭圆方程为  。

          （Ⅱ）由（Ⅰ）得，

                故

                从而M

                     由解得

                所以T（1，）.

                因为，

                又 ，得

                    

                            =

                 因此