Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A₁B₂与直线B₁F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、2

  7

  -5
• B、

  2 7 +1

  9

• C、

  7

  -

  5

  2

• D、

  2 7 -1

  9

Answer 1

分析：对椭圆进行压缩变换，x′=

x

a

，y′=

y

b

，椭圆变为单位圆：x^'2+y^'2=1，F'（

c

a

，0）．根据题设条件求出直线B₁T方程，直线直线B₁T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．

解答：解：对椭圆进行压缩变换，x′=

x

a

，y′=

y

b

，
椭圆变为单位圆：x^'2+y^'2=1，F'（

c

a

，0）．
延长TO交圆O于N
易知直线A₁B₁斜率为1，TM=MO=ON=1，A1B2=

2

，
设T（x′，y′），则 TB2=

2

x′，y′=x′+1，
由割线定理：TB₂×TA₁=TM×TN

2

x′(

2

x′+

2

)   =1×3，
x′=

7 -1

2

（负值舍去）
y′=

7 +1

2

易知：B₁（0，-1）
直线B₁T方程：

y′+1

x′

=

7 +1 2 +1

7 -1 2

令y′=0
x′=2

7

-5，即F横坐标
即原椭圆的离心率e=

c

a

=2

7

-5．
故选A．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查了椭圆的标准方程．涉及了直线与椭圆的关系，解题时要认真审题，仔细解答．