Question

已知定义域为[-2，2]的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（Ⅰ）求实数a，b的值；     
（Ⅱ）解关于m的不等式f（m）+f（m-1）＞f（0）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函数可得，f（-x）+f（x）=0，据此可得关于a，b的方程组，解出即得a，b，注意取舍．
（Ⅱ）对f（x）进行变形后可判断其单调性，根据单调性及奇偶性可去掉不等式中的符号“f”，化为具体不等式，注意考虑定义域．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）+f（-x）=0得：（2b-a）•（2^x）²+（2ab-4）•2^x+（2b-a）=0，
所以

2b-a=0 2ab-4=0

，
解得：

a=2 b=1

或

a=-2 b=-1

，
又f（0）=0，即

-1+b

2+a

=0，得b=1，且a≠-2，
因此

a=2 b=1

．
（Ⅱ）∵f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

(-1+

2

2x+1

)，
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减，
由f（m）+f（m-1）＞f（0）得：f（m）＞f（1-m），
所以

-2≤m≤2 -2≤m-1≤2 m＜1-m

，解得：-1≤m＜

1

2

，
所以原不等式的解集为[-1，

1

2

)．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合及其应用，考查不等式的解法，属中档题．