Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为6的正三角形，设 （x，y∈R）．

（1）若x=y=1，求| |；
（2）若 =36， =54，求x，y．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，

若x=y=1，则 ；

∴BD过AC的中点E，且BD=2BE= ；

即

（2）解：设∠DBC=θ，则∠DBA=60°﹣θ，设BD=d；

∴由 =36， =54得：

；

解得，cos ，d= ；

∴ ；

即84=36x2+36xy+36y2，整理得， ①；

且 ；

∴ =18x﹣18y=18；

∴x﹣y=1②；

①②联立得， （舍去），x= ．

【解析】（1）x，y=1时，根据向量加法的平行四边形法则，以及等边三角形的中线也是高线便可求出BD的长度，即求出 的值；（2）可设BD=d，∠DBC=θ，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出不等式组 ，解该不等式组可求出d的大小，然后对 两边平方即可得出 ①；再根据该问的条件可得到方程x﹣y=1②，这样两式联立即可求出x，y的值．
【考点精析】掌握平面向量的基本定理及其意义是解答本题的根本，需要知道如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．