Question

【题目】已知函数， .

（1）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；

（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负.

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】【试题分析】（１）先分离参数，再构造函数运用导数求函数的最值；（２）借助导数与函数的单调性之间的关系，运用分类整合思想进行分析求解：

（1）由，得，即在上恒成立.

设函数， .则.

设.则.易知当时， .

∴在上单调递增，且.即对恒成立.

∴在上单调递增，∴当时， .

∴，即的取值范围是.

（2）， ，∴.

设，则.由，得.

当时， ；当时， . ∴在上单调递增，在上单调递减.且， ， .显然.

结合函数图像可知，若在上存在极值，则或.

（ⅰ）当，即时，

则必定，使得，且.

当变化时， ， ， 的变化情况如下表：

		极小值		极大值

∴当时， 在上的极值为，且.

∵.

设，其中， .

∵，∴在上单调递增， ，当且仅当时取等号.

∵，∴.∴当时， 在上的极值.

（ⅱ）当，即时，则必定，使得.

易知在上单调递增，在上单调递减.此时， 在上的极大值是，且.

∴当时， 在上极值为正数.综上所述：当时， 在上存在极值.且极值都为正数.

注：也可由，得.令后再研究在上的极值问题.