Question

设函数f（x）=1-|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≥3x+l的解集；
（II）若不等式f（x）-mx≥0的解集非空，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）不等式f（x）≥3x+l，即|2x-3|+3x≤0，分别求得

x≥ 3 2 2x-3+3x≤0

  和

x ＜ 3 2 3-2x+3x≤0

 的解集，取并集，即得所求．
（II）画出f（x）=1-|2x-3|和y=mx的图象，过原点的直线y=mx过点A时，m=

2

3

．当过原点的直线y=mx与AC平行时，m=2，由此求得不等式f（x）-mx≥0的解集非空时，m的取值范围．

解答：解：（I）不等式即|2x-3|+3x≤0，
∴

x≥ 3 2 2x-3+3x≤0

，或 

x ＜ 3 2 3-2x+3x≤0

．
即

x≥ 3 2 x≤ 3 5

 或

x ＜ 3 2 x≤ -3

，故不等式的解集为[x|x≤-3}．
（II）f（x）=1-|2x-3|=

4-2x ， x≥ 3 2 2x-2 ， x＜ 3 2

．由单调性可得f（x）的最大值点为A（

3

2

，1），
过原点的直线y=mx过点A时，m=

2

3

．当过原点的直线y=mx与AC平行时，m=2，
故当

2

3

＜m≤2时，f（x）的图象和直线y=mx无交点．
故当不等式f（x）-mx≥0的解集非空时，m的取值范围为（-∞，

2

3

]∪（2，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．