Question

【题目】已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；

（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于,求证：直线经过定点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据题意，判断出动点的轨迹方程为双曲线的右支，然后根据定义即可求得双曲线的方程。

（Ⅱ）讨论当直线斜率存在与不存在两种情况下直线过定点问题。当斜率不存在时，易得直线过定点的坐标为；当斜率存在时，设出直线方程，联立曲线方程，消y得到关于

x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两个交点横坐标间的关系；利用，再证明直线BM经过。

（Ⅰ）由已知，即

所以轨迹为双曲线的右支，，，，

曲线标准方程

（Ⅱ）由对称性可知，直线必过轴的定点

当直线的斜率不存在时， ，，，知直线经过点

当直线的斜率存在时，不妨设直线，，

直线 ，当时，，

得，，

下面证明直线经过点，即证，即

即，由，

整理得， ，即

即证经过点，直线过定点