Question

【题目】已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于的方程有唯一实数解，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）设h（x）＝lnx﹣ex+ax﹣a（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出n的值即可．

(1)

当时，，在上单调递增；

当时，时，，单调递减，时，，单调递增.

综上所述:当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

(2)由己知可得方程有唯一解，且

设，即有唯一解，

由，则在上单调递减.

所以在上单调递减，即在单调递减.

又时，时，

故存在使得，

当时，，在上单调递增

时，在上单调递减.

又有唯一解，则必有

当时，，故存在唯一的满足下式:

由消去得.

令

故当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增.

由.

即存在，使得，即.

又关于的方程有唯一实数解，且

.故.