Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+n（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：数列{

an-1

2n

}为等差数列；
（2）求数列{a_n+n}的前n项和R_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+n得，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+n-1，两个式子相减化简后得到递推公式，代入

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

化简后，即可证明结论，并求出数列的首项；
（2）利用等差数列的通项公式可得

an-1

2n

的表达式，再求出a_n+n的表达式，利用分组求和、错位相减法，以及等差、等比数列的前n项和公式求出数列{a_n+n}的前n项和R_n．

解答： 证明：（1）因为S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+n，
所以当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+n-1，
两个式子相减得，a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ+1，
即得a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，
所以

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=

an-1

2n

-

2an-1-2

2n

=

2an-1+2n-2

2n

-

2an-1-2

2n

=1，（n≥2），
又S₁=2a₁-2²+1，解得a₁=3，则

a1-1

21

=1，
所以数列{

an-1

2n

}以1为首项、公差的等差数列；
解：（2）由（1）得，

an-1

2n

=n，所以an=n•2n+1，
令Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
则2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
两式相减得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
因为an+n=n•2n+1+n，
所以数列{a_n+n}的前n项和R_n=T_n+

n(2+1+n)

2

=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+

n(n+3)

2

．

点评：本题考查等差数列的通项公式，等差数列的证明方法，等比、等差数列的前n项和公式，“错位相减法”和“分组求和法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．