Question

【题目】已知函数.

（1）求在处的切线方程;

（2）若时,恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，代入x=0，求得切线的斜率，又切线过（0，0），从而写出切线方程.

（2）对f(x)进行二次求导，得到在上单调递增，则在上单调递增，所以，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；

（3）令a＝-2，可证得，从而证出结论．

（1），=1+1+a=2+a，又，在处的切线方程为y-0=，即.

（2）若时, 则 ，

在上单调递增，

则在上单调递增，

① 当，即时，，则在上单调递增，

此时，满足题意

②若,由在上单调递增

由于，，

故,使得. 则当 时,

∴函数在上单调递减. ∴,不恒成立.舍去

综上所述,实数的取值范围是.

（3）证明:由(Ⅰ)知,当时, 在上单调递增.

则,即. ∴. ∴,

即