Question

已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；
②已知点，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；
（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为，即可求斜率k的值；
②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．
解答：（1）解：因为满足a²=b²+c²，，…（2分）
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．
从而可解得，
所以椭圆方程为…（4分）
（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0…（6分）
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，…（7分）
因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（9分）
②由①知，
所以…（11分）
==…（12分）
===…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．