Question

（2010•广东模拟）已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）若E是PC的中点，且五点A，B，C，D，E在同一球面上，求该球的表面积．

Answer 1

分析：（1）证明PC⊥面ABCD，BD⊥PC，证明BD⊥面PAC，即可证明BD⊥AE．
（2）几何体的外接球就是扩展为正方体的外接球，求出球的半径，即可求该球的表面积．

解答：解：（1）证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，⇒PC⊥面ABCD…（2分）
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因为BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，
∴BD⊥AE．…（7分）
（2）解：以正方形ABCD为底面，EC为高补成正方体，此时对角线EA的长为球的直径，
∴2R=EA=

1+1+1

=

3

，
S_球=4πR²=3π．…（14分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面垂直，直线与直线垂直的证明，几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力．