Question

2．已知关于x的方程ax²+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}}$]
• B． [-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}}$]
• C． [-3，-2]
• D． （-3，-2]

Answer 1

分析 讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．

解答 解：当a=0时，方程x+1=0的零点为-1，不符合题意，∴a≠0．
（1）若方程在（0，3]有一个根，
①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=-$\frac{1}{3}$，
②若3不是方程的根，则$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4a（3a+1）=0}\\{0＜-\frac{1}{2a}＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4a（3a+1）＞0}\\{（3a+1）（12a+4）＜0}\end{array}\right.$．
解得a=-$\frac{1}{2}$或无解．
（2）若方程在（0，3]上有两个根，则$\left\{\begin{array}{l}{△-1-4a（3a+1）＞0}\\{0＜-\frac{1}{2a}＜3}\\{3a+1＜0}\\{12a+4≤0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{1}{2}$＜x≤-$\frac{1}{3}$，
综上，a的范围是[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．
故选B．

点评 本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．