Question

5．下列命题中：
①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1，则数列{a_n}是等差数列．
③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是$\sqrt{7}$＜a＜5．
④若S_n=2-2a_n，则{a_n}是等比数列
真命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 ①△ABC中，利用正弦定理与三角形的边角大小关系可得：A＞B?a＞b?sinA＞sinB，即可判断出正误；
②由S_n=n²-2n+1，可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-3，n≥2}\end{array}\right.$，即可判断出正误；
③若a是最大边，则3²+4²＞a²，解得a；若4是最大边，则3²+a²＞4²，解得a，即可判断出正误．
④由S_n=2-2a_n，可得a_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$，即可判断出正误．

解答 解：①△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB，正确；
②数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1，可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-3，n≥2}\end{array}\right.$，因此数列{a_n}不是等差数列．
③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，若a是最大边，则3²+4²＞a²，解得a＜5；若4是最大边，则3²+a²＞4²，解得$a＞\sqrt{7}$，则a的取值范围是$\sqrt{7}$＜a＜5，正确．
④若S_n=2-2a_n，可得a_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$，可知首项与公比都为$\frac{2}{3}$，因此{a_n}是等比数列，正确．
真命题的序号是 ①③④．
故答案为：①③④

点评 本题考查了正弦定理、数列的前n项和公式与通项公式、三角形三边大小关系、命题真假的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．