Question

若f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）  （x，y∈R），则下列各选项不恒成立的是（　　）

• A、f（0）=0
• B、f（3）=3f（1）
• C、f（

  1

  2

  ）=

  1

  2

  f（1）
• D、f（-x）．f（x）＜0

Answer 1

分析：由已知中f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）  （x，y∈R），令x=y=0，可以判断A的真假；令3=2+1=（1+1）+1，可以判断B的真假；令1=

1

2

+

1

2

，可以判断C的真假；令x=0，结合A的结论，可以判断D的真假，进而得到答案．

解答：解：∵f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）  （x，y∈R），
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，故A正确；
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=f（1+1）+F（1）=3f（1），故B正确；
f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=2f（

1

2

），故C正确；
而当x=0时，f（-x）．f（x）=0，f（-x）．f（x）＜0不成立，故D不恒成立
故选D

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，在处理抽象函数的函数值求值及关系判断，奇偶性、单调性的证明时，“凑”的思想是最重要的．如判断A时令x=y=0，就凑出了f（0）．