Question

已知二次函数f(x)=

a

2

x2-x-a(a＞0)
（I）若f（x）满足条件f（1-x）=f（1+x），试求f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间[

2

，2]上的最小值为h（a），试求h（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用条件得对称轴方程求得a，即可求 f（x）的解析式；
（II）由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．

解答：解：（I）∵f（x）满足条件f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）图象的对称轴是x=1，
即：

1

a

=1，a=1，∴f（x）的解析式为：

1

2

x²-x-1；
（II）∵f（x）图象的对称轴是x=

1

a

＞0，
①当0＜

1

a

＜

2

时，即a＞

2

2

时，函数f（x）在区间[

2

，2]上为增函数
当x=

2

时，该函数取最小值h（a）=-

2

；
②当

2

≤

1

a

≤2时，即

1

2

≤a≤

2

2

时，
当x=

1

a

时，该函数取最小值h（a）=-

1

2a

-a；
③当

1

a

＞2时，即a＜

1

2

时，函数f（x）在区间[

2

，2]上为减函数
当x=2时，该函数取最小值h（a）=a-2；
综上，函数的最小值为 h(a)=

a-2 a＜ 1 2 - 1 2a -a  1 2 ≤a≤ 2 2   - 2 ，a＞ 2 2

（8分）
当a=

1

2

时h（a）_max=

3

2

（12分）

点评：本题考查了二次函数解析式的求法，考查学生的分类讨论思想，二次函数最值问题的求解，考查学生最值问题的求法．