Question

11．已知等比数列{a_n}的公比为q≠-1，前n项和为S_n，若集合M={S|S=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$}，则集合M等于（　　）

• A． {0}
• B． {0，$\frac{1}{2}$，1}
• C． {1，$\frac{1}{2}$}
• D． {0，$\frac{1}{2}$}

Answer 1

分析 当q=1时，S_n=na₁，S_2n=2na₁，即可得出$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$．当q≠1时，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，可得$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{1}{1+{q}^{n}}$．对q分类讨论即可得出．

解答 解：当q=1时，S_n=na₁，S_2n=2na₁，∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{1}{2}$．
当q≠1时，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}}$=$\frac{1}{1+{q}^{n}}$．
∴S=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{1+{q}^{n}}$，
当q＞1时，S=0．
当0＜|q|＜1时，S=1．
当q＜-1时，S=0．
综上可得：集合M={0，1，$\frac{1}{2}$}．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的性质及其前n项和公式、数列极限性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．