Question

空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若AC+BD=a，AC•BD=b，则EG²+FH²=

1

2

a2-b

．

Answer 1

分析：通过三角形的中位线，判断EFGH是平行四边形，利用平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和，即可求出结果．

解答：解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴HG、GF、FE、EH分别为△ADC、△BDC、△ABC、△ABD的中位线．
∴GF=HE=

1

2

BD，
HG=EF=

1

2

AC，因为AC+BD=a，AC•BD=b，且平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和，
∴EG²+FH²=2（EF²+FG²）=2（(

1

2

AC)2+(

1

2

BD)2）
=

1

2

(AC2+BD2)=

1

2

(AC+BD)2-AC•BD
=

1

2

a2-b．
故答案为：

1

2

a2-b．

点评：本题考查平形四边形对角线的平方等于四个边的平方和，考查转化思想与计算能力．