Question

曲线y=x-

1

x

上任一点处的切线分别与直线x=0，y=x相交于点A，B，O是坐标原点，则△OAB的面积是

2

．

Answer 1

分析：设切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=x求出三角形的底与高，由三角形的面积公式即可求出△OAB的面积．

解答：解：设曲线y=x-

1

x

上任取一点（m，m-

1

m

）
∵y′=1+

1

x2

∴y′

|

x=m

=1+

1

m2

即切线的斜率为1+

1

m2

则切线的方程为y-m+

1

m

=（1+

1

m2

）（x-m）
令x=0得y=-

2

m

令y=x得，x=2m
∴△OAB的面积=

1

2

|-

2

m

|×|2m|=2
故答案为：2

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角形面积的度量，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．