Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项为4，设数列的前n项和为S_n，且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（2）记A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，B_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a22

+…+

1

a2n-1

，当n≥2时，试比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得；
（2）利用（Ⅰ）的a_n和S_n，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理A_n与B_n，然后进行比较．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由(

1

a2

)2=

1

a1

•

1

a4

，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），因为d≠0，所以d=a₁=4，
所以a_n=4n，S_n=4n+

4n(n-1)

2

=2n（n+1）；
（2）∵

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

(1-

1

n+1

)．
又a2n-1=4•2n-1=2n+1，
∴Bn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n-1

=

1

4

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

1

2

(1-

1

2n

)．
当n≥2时，2n=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

＞n+1，
即1-

1

n+1

＜1-

1

2n

．
所以A_n＜B_n．

点评：本题是数列和不等式的综合题，考查了等比数列的性质，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法求解不等式，是有一定难度题目．