Question

设椭圆+=1（a＞1）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上位于x轴上方的动点．
（Ⅰ）当取最小值时，求A点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出点的坐标，利用数量积公式，结合配方法，即可求得结论；
（II）设AC的直线方程为y=kx+1（不妨设k＞0），代入椭圆的方程中，求出AB，AC的长，利用|AB|=|AC|，可得方程，考虑方程根的情况，即可得出结论．
解答：解：（Ⅰ）设A（x，y），F₁（-c，0）．F₂（c，0），则=x²+y²-c²
因为A（x，y）在椭圆上，所以，
所以=
∵a＞1，∴当x=0时，取得最小值，此时A点的坐标为A（0，1）．
（Ⅱ）设两个顶点为B，C，显然直线AC斜率存在，不妨设AC的直线方程为y=kx+1（不妨设k＞0），代入椭圆的方程中可得，解得x₁=0（即A点的横坐标），x₂=
由弦长公式得：|AC|=（k＞0）
同理：|AB|=
由|AB|=|AC|，即，
化简得：（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0．
考虑关于k的方程k²+（1-a²）k+1=0，其判别式△=（1-a²）²-4
（1）当△＞0时，，其两根设为k₁，k₂，
由于，k₁k₂=1＞0，故两根必为正根，
显然k₁≠1，k₂≠1，故关于k的方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解，相应地，这样的等腰直角三角形有三个．
（2）当△=0时，，此时方程k²+（1-a²）k+1=0的解k=1，故方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0只有一解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个．
（3）当△＜0时，显然方程只有k=1这一个解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个．
综上：当时，这样的等腰直角三角形有三个；当时，这样的等腰直角三角形只有一个．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．