Question

设椭圆M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且内切于圆x²+y²=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=

2

x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，

2

)，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于双曲线的离心率为

2

，可得椭圆的离心率，又圆x²+y²=4的直径为4，则2a=4，从而列出关于a，b，c的方程求得a，b，c．最后写出椭圆M的方程；
（2）直线AB的直线方程：y=

2

x+m．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△PAB面积的最大值，从而解决问题．

解答：解：（1）双曲线的离心率为

2

，则椭圆的离心率为e=

c

a

=

2

2

（2分）圆x²+y²=4的直径为4，则2a=4，
得：

2a=4 c a = 2 2 b2=a2-c2

?

a=2 c= 2 b= 2

所求椭圆M的方程为

y2

4

+

x2

2

=1．（6分）
（2）直线AB的直线方程：y=

2

x+m．
由

y=  2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=(2

2

m)2-16(m2-4) ＞0，得-2

2

＜m＜2

2

∵x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

．
∴|AB|=

1+2

|x1-x2|=

3

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

•

1 2 m2-m2+4

=

3

4- m2 2

（9分）
又P到AB的距离为d=

|m|

3

．
则S△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

3

4- m2 2

|m|

3

=

1

2

m2(4- m2 2 )

=

1

2 2

m2(8-m2)

≤

1

2 2

•

m2+(8-m2)

2

=

2

当且仅当m=±2∈(-2

2

，2

2

)取等号
∴(S△ABC)max=

2

．　　　　（12分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．