题目内容
已知椭圆C:
(1)设椭圆的半焦距c=1,且a2,b2,c2成等差数列,求椭圆C的方程;
(2)对(1)中的椭圆C,直线y=x+1与C交于P、Q两点,求|PQ|的值;
(3)设B为椭圆C:



【答案】分析:(1)直接根据条件列出关于a2,b2,c2的方程,求出a2,b2,c2即可得到椭圆方程;
(2)把直线方程与椭圆方程联立得到关于P、Q两点坐标之间的关系,再结合两点间的距离公式即可求|PQ|的值;
(3)先根据①知
,再结合②整理去掉b即可求出椭圆长轴的取值范围(注意长轴的长是指2a).
解答:(本题满分(16分),第1题(4分),第2题(6分),第3题6分)
解:(1)由已知,a2=b2+1,且2b2=a2+1,…(2分)
解得a2=3,b2=2,所以椭圆C的方程是
.…(4分)
(2)将y=x+1代入椭圆C的方程,得
,化简得,5x2+6x-3=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
,
,…(6分)
所以,|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2]=
,
所以
.…(10分)
(3)由①知,
,即
,…(11分)
由②得,
,而
,即
,…(13分)
解得
,…(15分)
所以,椭圆长轴的取值范围是
.…(16分)
点评:本题主要考查圆锥曲线与数列,两点间距离公式以及解析几何的综合.
(2)把直线方程与椭圆方程联立得到关于P、Q两点坐标之间的关系,再结合两点间的距离公式即可求|PQ|的值;
(3)先根据①知

解答:(本题满分(16分),第1题(4分),第2题(6分),第3题6分)
解:(1)由已知,a2=b2+1,且2b2=a2+1,…(2分)
解得a2=3,b2=2,所以椭圆C的方程是

(2)将y=x+1代入椭圆C的方程,得

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则


所以,|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2]=

所以

(3)由①知,


由②得,



解得

所以,椭圆长轴的取值范围是

点评:本题主要考查圆锥曲线与数列,两点间距离公式以及解析几何的综合.

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