题目内容

已知椭圆C:(a>b>0).
(1)设椭圆的半焦距c=1,且a2,b2,c2成等差数列,求椭圆C的方程;
(2)对(1)中的椭圆C,直线y=x+1与C交于P、Q两点,求|PQ|的值;
(3)设B为椭圆C:(a>b>0)的短轴的一个端点,F为椭圆C的一个焦点,O为坐标原点,记∠BFO=θ.当椭圆C同时满足下列两个条件:①;②a2+b2=2a2b2.求椭圆长轴的取值范围.

【答案】分析:(1)直接根据条件列出关于a2,b2,c2的方程,求出a2,b2,c2即可得到椭圆方程;
(2)把直线方程与椭圆方程联立得到关于P、Q两点坐标之间的关系,再结合两点间的距离公式即可求|PQ|的值;
(3)先根据①知,再结合②整理去掉b即可求出椭圆长轴的取值范围(注意长轴的长是指2a).
解答:(本题满分(16分),第1题(4分),第2题(6分),第3题6分)
解:(1)由已知,a2=b2+1,且2b2=a2+1,…(2分)
解得a2=3,b2=2,所以椭圆C的方程是.…(4分)
(2)将y=x+1代入椭圆C的方程,得,化简得,5x2+6x-3=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,…(6分)
所以,|PQ|2=(x1-x22+(y1-y22=2(x1-x22=2[(x1+x22-4x1x2]=
所以.…(10分)
(3)由①知,,即,…(11分)
由②得,,而,即,…(13分)
解得,…(15分)
所以,椭圆长轴的取值范围是.…(16分)
点评:本题主要考查圆锥曲线与数列,两点间距离公式以及解析几何的综合.
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